THIS × IS = BASIC

1. 從個位的 S × S 下手

積的個位來自 S × S，它的末位是 C，向十位的進位記為 c1。例如，若 S = 7，則 7 × 7 = 49，可得 C = 9、c1 = 4。

S 不可能是 0、1、5、6，因為這些數字平方後的末位仍是自己，會讓 C = S。所以 S 只可能是 2、3、4、7、8、9。這時只是列出候選值，還沒有確定答案。

S × S = C + 10c1

2. 用重複的 I 限制十位

十位同時包含 I × S 和 S × I，再加上 c1，總和的末位必須是 I。換句話說，I × (2S − 1) + c1 必須是 10 的倍數。

對每個候選的 S，讓 I 取 1 到 9，並確保 I、S、C 各不相同。下表列出所有符合條件的組合，c2 是向百位的進位。乘法的進位可以超過 9：它不是字母的值，不受「不同字母代表不同數字」的規則限制。

2 × I × S + c1 = I + 10c2

3. 求出 H，再利用五位數的限制

百位是 H × S + I × I + c2，末位必須是 S。對上表的每一組，讓 H 取 0 到 9，而且不能和 I、S、C 重複。下表列出剩下的八種情況和它們的進位 c3。

接著，T × S + H × I + c3 產生千位的 A 和進位 c4。最左邊滿足 T × I + c4 = B。BASIC 剛好是五位數，所以 B 不能超過 9。

表中最後一欄是 B 的下限：先暫時取 T = 1，即使數字 1 已經被用掉。T 變大不會讓 T × I 或 c4 變小。所以只要這個最小值已經超過 9，整列都可以排除。篩選後剩下四列。

H × S + I × I + c2 = S + 10c3; T × S + H × I + c3 = A + 10c4; T × I + c4 = B

4. 排除其中三列

當 I = 2、S = 3、H = 6 時：T = 1 會得到 B = 3，和 S 重複。下一個還沒用到的非零數字是 T = 4，這時 B 已經等於 10，更大的 T 也不行。

當 I = 4、S = 3、H = 5 時：T = 1 讓千位總和是 26，得到 A = 6、c4 = 2，但 B = 4 + 2 = 6，和 A 重複。T = 2 就會讓 B = 10，所以這一列無解。

當 I = 7、S = 4、H = 0 時：T = 1 得到 B = 7，和 I 重複。如果 T 至少是 2，光是 T × I 就至少是 14，不可能是一位數的 B。

I = 2; S = 7; H = 0; C = 9; c3 = 0

5. 確定 T、A 和 B

剩下的那一列中，千位總和是 7T。T = 1 時 c4 = 0、B = 2，和 I 重複；T = 2 已經被 I 用掉；T = 4 時 c4 = 2、B = 10，更大的 T 也會超出五位數的限制。所以只能取 T = 3。

由 7 × 3 = 21，得到 A = 1、c4 = 2。最高位 B = 3 × 2 + 2 = 8。七個字母的數字互不相同，其中 H = 0 是允許的，因為 H 不在最高位。

把乘法分成兩部分驗算：3027 × 7 = 21189，3027 × 20 = 60540。兩者相加得到 81729，正好對應 BASIC。

3027 × 27 = 21189 + 60540 = 81729

答案與驗算

T

= 3

H

= 0

I

= 2

S

= 7

B

= 8

A

= 1

C

= 9

3027 × 27 = 81729

每個字母對應的數字都不相同，所有最高位都不是 0，而且等式成立。

解題重點

重複的字母把乘法的各位串連起來，積的位數則限制了最高位的大小。把進位和字母的值分開記錄，列出所有候選值，再排除數字重複和多出第六位的情況。這些條件一起確定了唯一的解。