THIS × IS = BASIC

1. Commencez par S × S dans la colonne des unités

Le chiffre des unités du produit vient de S × S. Son dernier chiffre est C ; appelons c1 la retenue vers les dizaines. Par exemple, S = 7 donnerait C = 9 et c1 = 4, car 7 × 7 = 49.

S ne peut pas être 0, 1, 5 ni 6 : chacun de ces carrés se termine par le même chiffre, ce qui ferait C = S. Les seules valeurs possibles de S sont 2, 3, 4, 7, 8 et 9. C’est une liste de candidats, pas encore la réponse.

S × S = C + 10c1

2. Servez-vous du I répété pour limiter les dizaines

Dans la colonne des dizaines, I × S et S × I contribuent tous les deux. Ajoutez c1 : le total doit se terminer par I. De façon équivalente, I × (2S − 1) + c1 doit être un multiple de 10.

Essayez chaque S restant avec I de 1 à 9, en gardant I, S et C différents. Le tableau contient toutes les paires qui subsistent. Ici, c2 est la retenue vers les centaines. Les retenues d’une multiplication peuvent dépasser 9 : ce ne sont pas des valeurs de lettres et elles ne suivent pas la règle des lettres différentes.

2 × I × S + c1 = I + 10c2

3. Trouvez H et utilisez la limite de cinq chiffres

La colonne des centaines combine H × S, I × I et c2 ; elle doit se terminer par S. Pour chaque paire ci-dessus, testez H de 0 à 9 sans réutiliser I, S ni C. Les huit lignes qui subsistent sont données ci-dessous, avec leur retenue c3.

Ensuite, T × S + H × I + c3 donne le chiffre A et la retenue c4. La colonne de gauche est T × I + c4 = B. Comme BASIC a exactement cinq chiffres, B vaut au plus 9.

La dernière colonne du tableau est une borne inférieure pour B : posez provisoirement T = 1, même si ce chiffre est déjà pris. Augmenter T ne peut diminuer ni T × I ni c4. Toute ligne dont le B minimum dépasse 9 est donc impossible. Il reste quatre lignes.

H × S + I × I + c2 = S + 10c3; T × S + H × I + c3 = A + 10c4; T × I + c4 = B

4. Éliminez trois des lignes restantes

Pour I = 2, S = 3, H = 6 : T = 1 donne B = 3, qui réutilise S. Le T non nul libre suivant est 4, qui donne déjà B = 10. Les T plus grands échouent aussi.

Pour I = 4, S = 3, H = 5 : T = 1 donne un total de 26 aux milliers, donc A = 6 et c4 = 2. Mais B = 4 + 2 = 6 aussi. T = 2 donne déjà B = 10, donc cette ligne ne peut pas convenir.

Pour I = 7, S = 4, H = 0 : T = 1 donne B = 7, qui réutilise I. Dès que T vaut au moins 2, T × I seul vaut au moins 14, trop grand pour B.

I = 2; S = 7; H = 0; C = 9; c3 = 0

5. Terminez avec T, A et B

Dans la ligne qui reste, le total des milliers est 7T. T = 1 donne c4 = 0 et B = 2, qui répète I. T = 2 est déjà pris par I. T = 4 donnerait c4 = 2 et B = 10, et tout T plus grand dépasse aussi la limite de cinq chiffres. Il ne reste que T = 3.

Maintenant, 7 × 3 = 21 donne A = 1 et c4 = 2. Le chiffre de gauche est B = 3 × 2 + 2 = 8. Les sept lettres ont des valeurs différentes, y compris H = 0, autorisé car H n’est pas la première lettre d’un nombre.

Vérifiez la multiplication en deux parties : 3027 × 7 = 21189 et 3027 × 20 = 60540. La somme de ces produits partiels est 81729, exactement BASIC.

3027 × 27 = 21189 + 60540 = 81729

Réponse et vérification

T

= 3

H

= 0

I

= 2

S

= 7

B

= 8

A

= 1

C

= 9

3027 × 27 = 81729

Toutes les lettres ont des chiffres différents, aucun nombre ne commence par zéro et l’égalité est juste.

À retenir

Les lettres répétées relient les colonnes de la multiplication, et la longueur du produit borne les premiers chiffres. Notez les retenues à part des valeurs des lettres, listez les cas qui subsistent et écartez à la fois les chiffres répétés et un sixième chiffre indésirable. Ensemble, ces vérifications ne laissent qu’une seule solution.