STORK + KOI + BOAS + TROUT + TOADS + RATS = BIRDS
Solution pas à pas
Six noms d’animaux donnent BIRDS en s’additionnant. Trouvez les valeurs des dix lettres, puis lisez 7059 6812354 en lettres. Ce cryptarithme est plus difficile : on réduit les possibilités avec les retenues et la somme des dix chiffres, puis on examine explicitement les branches restantes.
Chaque lettre représente un chiffre de 0 à 9. Les lettres identiques gardent la même valeur ; des lettres différentes ne peuvent pas partager un chiffre. Les premières lettres S, K, B, T et R ne peuvent pas valoir zéro.
Aller à la réponse1. Écrivez une équation par colonne
Appelez c1, c2, c3 et c4 les retenues qui sortent des unités, des dizaines, des centaines et des milliers. Les retenues sont de simples nombres, pas des valeurs de lettres : elles peuvent être égales à une valeur de lettre ou entre elles. Il n’y a pas de retenue au-delà du résultat à cinq chiffres.
Les unités contiennent K + I + S + T + S + S et se terminent par S : on simplifie un S. Dans les dizaines, D apparaît des deux côtés et se simplifie entièrement. Cela ne rend pas D quelconque : les dix lettres différentes doivent utiliser les dix chiffres exactement une fois.
| Colonne | Équation |
|---|---|
| Unités | K + I + T + 2S = 10c1 |
| Dizaines | R + O + A + U + T + c1 = 10c2 |
| Centaines | 3O + K + 2A + c2 = R + 10c3 |
| Milliers | T + B + 2R + O + c3 = I + 10c4 |
| Dizaines de mille | S + 2T + c4 = B |
2. Bornez les lettres de gauche et les retenues
Supposons c4 = 0. En remplaçant B = S + 2T dans les milliers, on obtient I = S + 3T + 2R + O + c3. Les chiffres S, T et R sont différents et non nuls, donc S + 3T + 2R vaut au moins 10 : même le plus petit arrangement donne 3 + 3 × 1 + 2 × 2 = 10. Cela ne tient pas dans le seul chiffre I. Donc c4 vaut au moins 1.
Maintenant, S + 2T + c4 = B ≤ 9 donne T ≤ 3 et S ≤ 6. L’équation des unités est positive et vaut au plus 9 + 9 + 3 + 2 × 6 = 33, donc c1 vaut 1, 2 ou 3. Dans les dizaines, les quatre chiffres différents R, O, A, U totalisent au plus 9 + 8 + 7 + 6 = 30 ; avec T et c1, on obtient au plus 36. Donc c2 vaut aussi 1, 2 ou 3.
Les centaines peuvent retenir au plus 5. Les milliers totalisent alors au plus 3 + 9 + 2 × 9 + 9 + 5 = 44, donc c4 vaut au plus 4. Avec S + 2T + c4 ≤ 9, on obtient 2 ≤ T + c4 ≤ 6.
1 ≤ S ≤ 6; 1 ≤ T ≤ 3; 1 ≤ c1, c2 ≤ 3; 1 ≤ c4 ≤ 4
3. Utilisez 0 + 1 + … + 9 = 45 pour retrouver D
Additionnez les valeurs des neuf lettres autres que D. L’équation des dizaines remplace R + O + A + U + T et donne S + K + I + B + 10c2 − c1. L’équation des unités remplace K + I, puis B = S + 2T + c4 ramène le tout à T + c4 + 9c1 + 10c2.
Par conséquent, D = 45 − T − c4 − 9c1 − 10c2. Comme D est compris entre 0 et 9 et T + c4 entre 2 et 6, la valeur 9c1 + 10c2 doit être comprise entre 30 et 43. Pour c1 et c2 dans 1, 2, 3, seuls 39, 38 et 37 conviennent : les couples de retenues sont (1, 3), (2, 2) et (3, 1).
Le couple (3, 1) exigerait K + I + T + 2S = 30. Comme K + I ≤ 17 et S ≤ 8 − 2T, cela impose T = 1 et S = 6. La colonne de gauche impose alors c4 = 1 et B = 9, alors que K + I = 17 demande les chiffres 8 et 9. B serait réutilisé : on écarte ce couple.
D = 45 − T − c4 − 9c1 − 10c2
4. Écartez c1 = 1, c2 = 3
Pour ce couple, D = 6 − T − c4 et K + I = 10 − T − 2S. Testez S de 1 à 6, T de 1 à 3 et c4 de 1 à 4 ; calculez B et D, puis répartissez K + I en chiffres libres avec K non nul. Rejetez les valeurs hors de 0–9 ou les lettres répétées. Seules les deux lignes ci-dessous subsistent ; les n-uplets suivent l’ordre des en-têtes.
Dans la première ligne, les chiffres libres pour R, O, A, U sont 4, 6, 7, 9. Le total des milliers T + B + 2R + O + c3 vaut au moins 3 + 8 + 2 × 4 + 6 = 25, alors que I + 10c4 ne vaut que 10. Dans la seconde, les chiffres libres sont 4, 7, 8, 9 : le total vaut au moins 1 + 6 + 2 × 4 + 7 = 22, alors qu’il devrait être 20. Les deux lignes échouent.
| S, T, c4 | B, D, K, I | Minimum > cible |
|---|---|---|
| 1, 3, 1 | 8, 2, 5, 0 | 25 > 10 |
| 2, 1, 2 | 6, 3, 5, 0 | 22 > 20 |
c1 = 2; c2 = 2; D = 7 − T − c4; K + I = 20 − T − 2S
5. Examinez méthodiquement les branches restantes
Refaites la même vérification bornée avec c1 = c2 = 2. Calculez B = S + 2T + c4, D = 7 − T − c4 et K + I = 20 − T − 2S. Le tableau liste les 31 choix ordonnés de K et I, regroupés par S, T, c4. Les six lettres attribuées S, T, B, D, K, I doivent être différentes.
Pour chaque choix, essayez des O et A différents parmi les quatre chiffres libres. Calculez X = 3O + K + 2A + 2. Son dernier chiffre doit être un R libre et non nul, et son chiffre des dizaines est c3. Vérifiez T + B + 2R + O + c3 = I + 10c4. Donnez à U le chiffre restant et vérifiez aussi l’équation des dizaines. La dernière colonne compte les attributions complètes qui passent ces vérifications, pas des intuitions sur la branche qui paraît prometteuse.
Seule la première ligne a une complétion valide, avec K = 7 et I = 9. Cela détermine S = 1, T = 2, c4 = 1, B = 6 et D = 4. L’étape suivante suit cette branche en détail.
| S, T, c4 | (K, I) | Complétions valides |
|---|---|---|
| 1, 2, 1 | (7, 9); (9, 7) | 1 |
| 1, 3, 2 | (7, 8); (8, 7) | 0 |
| 2, 1, 2 | (7, 8); (8, 7) | 0 |
| 2, 1, 3 | (6, 9); (9, 6) | 0 |
| 3, 1, 1 | (4, 9); (9, 4) | 0 |
| 3, 1, 2 | (5, 8); (8, 5) | 0 |
| 3, 1, 4 | (5, 8); (6, 7); (7, 6); (8, 5) | 0 |
| 3, 2, 1 | (5, 7); (7, 5) | 0 |
| 4, 1, 1 | (2, 9); (3, 8); (8, 3); (9, 2) | 0 |
| 4, 1, 3 | (5, 6); (6, 5) | 0 |
| 5, 1, 2 | (2, 7); (3, 6); (6, 3); (7, 2) | 0 |
| 6, 1, 1 | (3, 4); (4, 3); (7, 0) | 0 |
6. Terminez avec R, O, A et U
Les chiffres libres sont 0, 3, 5, 8. L’équation des milliers devient 2R + O + c3 = 11. R ne peut pas être zéro, et R = 8 est déjà trop grand : il reste 3 ou 5.
Si R = 3, alors O + c3 = 5. O = 8 est trop grand. O = 0 demanderait c3 = 5, mais le total des centaines 7 + 2A + 2 vaut au plus 25. O = 5 demanderait c3 = 0, mais le total des centaines 15 + 7 + 2A + 2 vaut au moins 24. Donc R ne peut pas être 3.
Donc R = 5 et O + c3 = 1. Seul O = 0 est disponible, ce qui donne c3 = 1. L’équation des centaines est maintenant 7 + 2A + 2 = 15, donc A = 3. Le dernier chiffre libre est U = 8. La vérification des dizaines donne 5 + 0 + 3 + 8 + 2 + 2 = 20, comme exigé.
R = 5; O = 0; A = 3; U = 8
7. Décodez 7059 6812354
Inversez la correspondance entre lettres et chiffres. Le premier groupe se lit 7 → K, 0 → O, 5 → R, 9 → I. Le second se lit 6 → B, 8 → U, 1 → S, 2 → T, 3 → A, 5 → R, 4 → D.
Le nom de l’animal caché est KORI BUSTARD. Nous l’obtenons à partir de l’arithmétique vérifiée, et non en devinant un animal pour forcer les valeurs des lettres.
7059 6812354 → KORI BUSTARD
Réponse et vérification
- S
- = 1
- T
- = 2
- O
- = 0
- R
- = 5
- K
- = 7
- I
- = 9
- B
- = 6
- A
- = 3
- U
- = 8
- D
- = 4
12057 + 709 + 6031 + 25082 + 20341 + 5321 = 69541
Toutes les lettres ont des chiffres différents, aucun nombre ne commence par zéro et l’égalité est juste.
À retenir
Une lettre qui se simplifie dans une colonne n’est pas forcément libre. Ici, l’emploi des dix chiffres permet de retrouver D et restreint fortement les retenues. Il reste des branches : listez-les explicitement, écartez les cas à l’aide des équations des colonnes et vérifiez la somme finale avant de décoder le message.