STORK + KOI + BOAS + TROUT + TOADS + RATS = BIRDS
Solução passo a passo
Seis palavras de animais somam BIRDS. Encontre os valores das dez letras e transforme 7059 6812354 em letras. Este criptoaritmo é mais difícil: reduzimos as possibilidades com os transportes e a soma dos dez algarismos, depois verificamos todos os casos restantes.
Cada letra representa um algarismo de 0 a 9. Letras iguais mantêm o mesmo valor; letras diferentes não podem ter o mesmo algarismo. As letras iniciais S, K, B, T e R não podem valer zero.
Ir para a resposta1. Escreva uma equação para cada coluna
Chame de c1, c2, c3 e c4 os transportes que saem das unidades, dezenas, centenas e milhares. Transportes são números, não letras que precisam de algarismos diferentes: podem coincidir entre si ou com uma letra. Não há transporte além do resultado de cinco algarismos.
As unidades contêm K + I + S + T + S + S e terminam em S; subtraia um S dos dois lados. Nas dezenas, D aparece nos dois lados e se cancela completamente. Isso não torna D livre: as dez letras diferentes precisam usar os dez algarismos exatamente uma vez.
| Coluna | Equação |
|---|---|
| Unidades | K + I + T + 2S = 10c1 |
| Dezenas | R + O + A + U + T + c1 = 10c2 |
| Centenas | 3O + K + 2A + c2 = R + 10c3 |
| Milhares | T + B + 2R + O + c3 = I + 10c4 |
| Dezenas de milhar | S + 2T + c4 = B |
2. Limite as letras iniciais e os transportes
Suponha c4 = 0. Substituir B = S + 2T nos milhares dá I = S + 3T + 2R + O + c3. Como S, T e R são distintos e não nulos, S + 3T + 2R vale pelo menos 10: a menor disposição dá 3 + 3 × 1 + 2 × 2 = 10. Isso não cabe no único algarismo I. Portanto, c4 é pelo menos 1.
De S + 2T + c4 = B ≤ 9, obtemos T ≤ 3 e S ≤ 6. O lado esquerdo da equação das unidades é positivo e vale no máximo 9 + 9 + 3 + 2 × 6 = 33, então c1 é 1, 2 ou 3. Nas dezenas, os quatro algarismos diferentes R, O, A, U somam no máximo 9 + 8 + 7 + 6 = 30; com T e c1, o máximo é 36. Logo, c2 também é 1, 2 ou 3.
As centenas podem transportar no máximo 5. Os milhares somam no máximo 3 + 9 + 2 × 9 + 9 + 5 = 44, então c4 não passa de 4. Combinando isso com S + 2T + c4 ≤ 9, temos 2 ≤ T + c4 ≤ 6.
1 ≤ S ≤ 6; 1 ≤ T ≤ 3; 1 ≤ c1, c2 ≤ 3; 1 ≤ c4 ≤ 4
3. Use 0 + 1 + … + 9 = 45 para recuperar D
Some os nove valores de letras diferentes de D. Use a equação das dezenas para substituir R + O + A + U + T, obtendo S + K + I + B + 10c2 − c1. Substitua K + I pela equação das unidades e use B = S + 2T + c4. O resultado se reduz a T + c4 + 9c1 + 10c2.
Assim, D = 45 − T − c4 − 9c1 − 10c2. Como D está entre 0 e 9, e T + c4 entre 2 e 6, o valor 9c1 + 10c2 deve estar entre 30 e 43. Com c1 e c2 em 1, 2, 3, só cabem 39, 38 e 37: os pares de transportes são (1, 3), (2, 2) e (3, 1).
O par (3, 1) exigiria K + I + T + 2S = 30. Como K + I ≤ 17 e S ≤ 8 − 2T, isso força T = 1 e S = 6. A coluna esquerda determina c4 = 1 e B = 9, mas K + I = 17 exige os algarismos 8 e 9. Isso reutilizaria B, então descartamos esse par.
D = 45 − T − c4 − 9c1 − 10c2
4. Elimine c1 = 1, c2 = 3
Neste caso, D = 6 − T − c4 e K + I = 10 − T − 2S. Verifique S de 1 a 6, T de 1 a 3 e c4 de 1 a 4; calcule B e D, depois decomponha K + I em algarismos livres, com K diferente de zero. Elimine valores fora de 0–9 e algarismos repetidos. Só restam as duas linhas abaixo; a ordem dos números segue os cabeçalhos.
Na primeira linha, os algarismos livres para R, O, A, U são 4, 6, 7, 9. O total dos milhares T + B + 2R + O + c3 é pelo menos 3 + 8 + 2 × 4 + 6 = 25, mas I + 10c4 vale apenas 10. Na segunda, restam 4, 7, 8, 9: o total é pelo menos 1 + 6 + 2 × 4 + 7 = 22, mas deveria ser 20. As duas linhas falham.
| S, T, c4 | B, D, K, I | Mínimo > alvo |
|---|---|---|
| 1, 3, 1 | 8, 2, 5, 0 | 25 > 10 |
| 2, 1, 2 | 6, 3, 5, 0 | 22 > 20 |
c1 = 2; c2 = 2; D = 7 − T − c4; K + I = 20 − T − 2S
5. Verifique os casos restantes de forma sistemática
Repita a mesma verificação limitada com c1 = c2 = 2. Calcule B = S + 2T + c4, D = 7 − T − c4 e K + I = 20 − T − 2S. A tabela lista todas as 31 escolhas ordenadas de K e I, agrupadas por S, T, c4. As seis letras já atribuídas S, T, B, D, K, I precisam ser diferentes.
Para cada escolha, teste O e A distintos entre os quatro algarismos livres. Calcule X = 3O + K + 2A + 2. O último algarismo deve ser um R livre e não nulo; o das dezenas é c3. Verifique T + B + 2R + O + c3 = I + 10c4. Atribua a U o último algarismo e confira também a equação das dezenas. A última coluna conta atribuições completas que passam nos testes, não casos que apenas parecem promissores.
Só a primeira linha tem uma solução válida, com K = 7 e I = 9. Isso determina S = 1, T = 2, c4 = 1, B = 6 e D = 4. O próximo passo detalha esse caso.
| S, T, c4 | (K, I) | Soluções válidas |
|---|---|---|
| 1, 2, 1 | (7, 9); (9, 7) | 1 |
| 1, 3, 2 | (7, 8); (8, 7) | 0 |
| 2, 1, 2 | (7, 8); (8, 7) | 0 |
| 2, 1, 3 | (6, 9); (9, 6) | 0 |
| 3, 1, 1 | (4, 9); (9, 4) | 0 |
| 3, 1, 2 | (5, 8); (8, 5) | 0 |
| 3, 1, 4 | (5, 8); (6, 7); (7, 6); (8, 5) | 0 |
| 3, 2, 1 | (5, 7); (7, 5) | 0 |
| 4, 1, 1 | (2, 9); (3, 8); (8, 3); (9, 2) | 0 |
| 4, 1, 3 | (5, 6); (6, 5) | 0 |
| 5, 1, 2 | (2, 7); (3, 6); (6, 3); (7, 2) | 0 |
| 6, 1, 1 | (3, 4); (4, 3); (7, 0) | 0 |
6. Encontre R, O, A e U
Os algarismos livres são 0, 3, 5, 8. A equação dos milhares vira 2R + O + c3 = 11. R não pode ser zero, e R = 8 já é grande demais. Restam 3 ou 5.
Se R = 3, então O + c3 = 5. O = 8 é grande demais. O = 0 exigiria c3 = 5, mas as centenas 7 + 2A + 2 somam no máximo 25. O = 5 exigiria c3 = 0, mas as centenas 15 + 7 + 2A + 2 somam pelo menos 24. Portanto, R não pode ser 3.
Logo, R = 5 e O + c3 = 1. Só O = 0 está disponível, dando c3 = 1. As centenas ficam 7 + 2A + 2 = 15, então A = 3. O último algarismo é U = 8. As dezenas conferem: 5 + 0 + 3 + 8 + 2 + 2 = 20, como exigido.
R = 5; O = 0; A = 3; U = 8
7. Decifre 7059 6812354
Inverta a correspondência entre letras e algarismos. O primeiro grupo lê-se 7 → K, 0 → O, 5 → R, 9 → I. O segundo lê-se 6 → B, 8 → U, 1 → S, 2 → T, 3 → A, 5 → R, 4 → D.
O nome do animal escondido é KORI BUSTARD. Ele vem da aritmética verificada, em vez de adivinharmos um animal e forçarmos os valores das letras.
7059 6812354 → KORI BUSTARD
Resposta e verificação
- S
- = 1
- T
- = 2
- O
- = 0
- R
- = 5
- K
- = 7
- I
- = 9
- B
- = 6
- A
- = 3
- U
- = 8
- D
- = 4
12057 + 709 + 6031 + 25082 + 20341 + 5321 = 69541
Todas as letras têm algarismos diferentes, nenhum algarismo inicial é zero e a igualdade está correta.
Ideia principal
Uma letra que se cancela numa coluna não é necessariamente livre. Aqui, usar os dez algarismos permite recuperar D e restringir os transportes. Ainda restam casos: liste-os, elimine-os pelas equações das colunas e verifique a soma antes de decifrar a mensagem.