cryptarithmプレイ

STORK + KOI + BOAS + TROUT + TOADS + RATS = BIRDS

手順に沿った解説

動物を表す6つの単語を足すと BIRDS になります。10文字の数字を求め、7059 6812354 を文字に戻しましょう。難しめの問題なので、繰り上がりと10個の数字の合計で候補を絞り、残る場合をすべて確認します。

各文字は 0 から 9 の数字を表します。同じ文字は同じ数字、異なる文字は異なる数字です。先頭の文字 S、K、B、T、R は 0 にはなりません。

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1. 各桁の式を書く

一、十、百、千の位から左へ進む繰り上がりを c1、c2、c3、c4 とします。繰り上がりは文字の割り当てではないので、文字の値と同じでも、互いに同じでも構いません。答えは5桁なので、その先への繰り上がりはありません。

一の位は K + I + S + T + S + S で、末尾は S です。両辺から S を1つ引けます。十の位では両辺にある D が消えます。ただし D は自由ではありません。10種類の文字が、10個の数字をちょうど1回ずつ使うからです。

両辺の同じ項を消した後の式
桁式
一の位K + I + T + 2S = 10c1
十の位R + O + A + U + T + c1 = 10c2
百の位3O + K + 2A + c2 = R + 10c3
千の位T + B + 2R + O + c3 = I + 10c4
一万の位S + 2T + c4 = B

2. 先頭の文字と繰り上がりの範囲を絞る

c4 = 0 と仮定します。千の位に B = S + 2T を代入すると I = S + 3T + 2R + O + c3 です。S、T、R は異なる正の数字なので、S + 3T + 2R は最小でも 10。最小の並べ方は 3 + 3 × 1 + 2 × 2 = 10 です。1桁の I には収まらないため、c4 は少なくとも 1 です。

S + 2T + c4 = B ≤ 9 より T ≤ 3、S ≤ 6 です。一の位の式の左辺は正で、最大でも 9 + 9 + 3 + 2 × 6 = 33 なので、c1 は 1、2、3 のいずれかです。十の位の異なる4数字 R、O、A、U の合計は最大 9 + 8 + 7 + 6 = 30。T と c1 を足しても最大 36 なので、c2 も 1、2、3 のいずれかです。

百の位からの繰り上がりは最大 5。千の位の合計は最大 3 + 9 + 2 × 9 + 9 + 5 = 44 なので c4 ≤ 4 です。S + 2T + c4 ≤ 9 と合わせると、2 ≤ T + c4 ≤ 6 となります。

1 ≤ S ≤ 6; 1 ≤ T ≤ 3; 1 ≤ c1, c2 ≤ 3; 1 ≤ c4 ≤ 4

3. 0 + 1 + … + 9 = 45 から D を求める

D 以外の9文字の値を足します。十の位の式で R + O + A + U + T を置き換えると、S + K + I + B + 10c2 − c1 です。一の位の式で K + I を置き換え、B = S + 2T + c4 を代入すると、T + c4 + 9c1 + 10c2 に整理できます。

よって D = 45 − T − c4 − 9c1 − 10c2 です。D は 0 から 9、T + c4 は 2 から 6 なので、9c1 + 10c2 は 30 から 43 の間です。c1、c2 が 1、2、3 のとき、当てはまるのは 39、38、37 だけ。繰り上がりの組は (1, 3)、(2, 2)、(3, 1) です。

組 (3, 1) では K + I + T + 2S = 30 が必要です。K + I ≤ 17、S ≤ 8 − 2T なので T = 1、S = 6 に限られます。左端から c4 = 1、B = 9 が決まりますが、K + I = 17 には 8 と 9 が必要です。B と重なるため、この組は除外します。

D = 45 − T − c4 − 9c1 − 10c2

4. c1 = 1、c2 = 3 を除外する

この場合 D = 6 − T − c4、K + I = 10 − T − 2S です。S を 1 から 6、T を 1 から 3、c4 を 1 から 4 で調べ、B と D を計算します。K + I を未使用の数字に分け、K は 0 にしません。0–9 の範囲外や数字の重複を除くと、下の2行だけが残ります。数字は見出しの順です。

1行目で R、O、A、U に残る数字は 4、6、7、9。千の位の合計 T + B + 2R + O + c3 は最低でも 3 + 8 + 2 × 4 + 6 = 25 ですが、I + 10c4 は 10 です。2行目に残る数字は 4、7、8、9 なので、合計は最低でも 1 + 6 + 2 × 4 + 7 = 22。しかし必要な値は 20 です。どちらも成立しません。

どちらの場合も千の位に必要な合計を超える
S, T, c4B, D, K, I最小値 > 目標値
1, 3, 18, 2, 5, 025 > 10
2, 1, 26, 3, 5, 022 > 20

c1 = 2; c2 = 2; D = 7 − T − c4; K + I = 20 − T − 2S

5. 残る場合を順に確認する

c1 = c2 = 2 として、同じ範囲で調べ直します。B = S + 2T + c4、D = 7 − T − c4、K + I = 20 − T − 2S を計算します。表は、順序を区別する K と I の全31組を S、T、c4 ごとにまとめたものです。割り当てた6文字 S、T、B、D、K、I はすべて異なる数字です。

各組で、残る4数字から異なる O と A を選び、X = 3O + K + 2A + 2 を計算します。その一の位は未使用かつ 0 以外の R、十の位は c3 です。T + B + 2R + O + c3 = I + 10c4 を確認し、最後の数字を U に割り当てて十の位も検算します。最終列はすべての条件を満たす完全な割り当ての数であり、見込みによる候補数ではありません。

成立するのは1行目だけで、K = 7、I = 9 です。これで S = 1、T = 2、c4 = 1、B = 6、D = 4 が決まります。次に、この場合の残りの文字を詳しく求めます。

残るすべての場合。各組の順序は (K, I)
S, T, c4(K, I)成立する解の数
1, 2, 1(7, 9); (9, 7)1
1, 3, 2(7, 8); (8, 7)0
2, 1, 2(7, 8); (8, 7)0
2, 1, 3(6, 9); (9, 6)0
3, 1, 1(4, 9); (9, 4)0
3, 1, 2(5, 8); (8, 5)0
3, 1, 4(5, 8); (6, 7); (7, 6); (8, 5)0
3, 2, 1(5, 7); (7, 5)0
4, 1, 1(2, 9); (3, 8); (8, 3); (9, 2)0
4, 1, 3(5, 6); (6, 5)0
5, 1, 2(2, 7); (3, 6); (6, 3); (7, 2)0
6, 1, 1(3, 4); (4, 3); (7, 0)0

6. R、O、A、U を求める

未使用の数字は 0、3、5、8 です。千の位の式は 2R + O + c3 = 11 となります。R は 0 ではなく、R = 8 では大きすぎるため、3 か 5 です。

R = 3 なら O + c3 = 5 です。O = 8 は大きすぎます。O = 0 なら c3 = 5 が必要ですが、百の位の合計 7 + 2A + 2 は最大 25。O = 5 なら c3 = 0 が必要ですが、百の位の合計 15 + 7 + 2A + 2 は最低 24 です。よって R は 3 ではありません。

したがって R = 5、O + c3 = 1 です。使えるのは O = 0 だけなので c3 = 1。百の位は 7 + 2A + 2 = 15 となり、A = 3 です。最後の数字は U = 8。十の位も 5 + 0 + 3 + 8 + 2 + 2 = 20 で成立します。

R = 5; O = 0; A = 3; U = 8

7. 7059 6812354 を解読する

文字と数字の対応を逆に読みます。最初の組は 7 → K、0 → O、5 → R、9 → I。次の組は 6 → B、8 → U、1 → S、2 → T、3 → A、5 → R、4 → D です。

隠れた動物名は KORI BUSTARD です。動物名を先に推測して数字を当てはめたのではなく、検算した式から読み取れます。

7059 6812354 → KORI BUSTARD

答えと検算

S
= 1
T
= 2
O
= 0
R
= 5
K
= 7
I
= 9
B
= 6
A
= 3
U
= 8
D
= 4

12057 + 709 + 6031 + 25082 + 20341 + 5321 = 69541

各文字の数字はすべて異なり、どの数も先頭は 0 ではなく、等式も成立します。

解き方のポイント

ある列で消える文字も、自由に決められるとは限りません。この問題では全10数字の合計から D を求め、繰り上がりを大きく絞れました。残る場合は明示して各列の式で調べ、最後に合計を検算してから暗号を読みましょう。

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