THIS × IS = BASIC

1. 一の位の S × S から始める

積の一の位は S × S で決まります。その末尾が C、十の位への繰り上がりを c1 とします。例えば S = 7 なら、7 × 7 = 49 なので C = 9、c1 = 4 です。

S は 0、1、5、6 にはなりません。これらは2乗しても末尾が同じ数字になり、C = S となってしまうからです。S の候補は 2、3、4、7、8、9 だけです。まだ答えが決まったわけではありません。

S × S = C + 10c1

2. 繰り返される I で十の位を絞る

十の位には I × S と S × I の両方が入ります。c1 を足した合計の末尾は I です。つまり I × (2S − 1) + c1 は 10 の倍数でなければなりません。

S の各候補について I を 1 から 9 まで調べ、I、S、C がすべて異なるものを残すと、下表の組合せになります。c2 は百の位への繰り上がりです。掛け算の繰り上がりは 9 を超えることもあり、文字の値とは違って、数字を重複させない規則の対象ではありません。

2 × I × S + c1 = I + 10c2

3. H を求め、積が5桁という条件を使う

百の位は H × S + I × I + c2 で、末尾は S です。各組合せについて H を 0 から 9 まで調べ、I、S、C と重ならないものを残します。下表は残った8通りと、その繰り上がり c3 です。

次に T × S + H × I + c3 から A と繰り上がり c4 が決まります。最も左の桁は T × I + c4 = B です。BASIC はちょうど5桁なので、B は 9 以下でなければなりません。

表の最後の列は B の下限です。数字 1 が使用済みでも、いったん T = 1 として計算します。T を大きくしても T × I や c4 は小さくなりません。この最小値が 9 を超える行は除外でき、4行が残ります。

H × S + I × I + c2 = S + 10c3; T × S + H × I + c3 = A + 10c4; T × I + c4 = B

4. 残った行のうち3行を除外する

I = 2、S = 3、H = 6 の行では、T = 1 にすると B = 3 となり S と重なります。次に使える 0 以外の T は 4 ですが、すでに B = 10 になります。より大きな T も使えません。

I = 4、S = 3、H = 5 の行では、T = 1 にすると千の位の合計が 26 となり、A = 6、c4 = 2 です。しかし B = 4 + 2 = 6 でもあり、数字が重なります。T = 2 ではすでに B = 10 なので、この行も除外できます。

I = 7、S = 4、H = 0 の行では、T = 1 にすると B = 7 となり I と重なります。T が 2 以上なら T × I だけで 14 以上となり、1桁の B には入りません。

I = 2; S = 7; H = 0; C = 9; c3 = 0

5. T、A、B を決める

残った行では、千の位の合計は 7T です。T = 1 なら c4 = 0、B = 2 となり I と重なります。T = 2 は I が使用済みです。T = 4 なら c4 = 2、B = 10 となり、それ以上の T も5桁の条件を超えます。したがって T = 3 だけが残ります。

7 × 3 = 21 より A = 1、c4 = 2 です。先頭は B = 3 × 2 + 2 = 8 になります。7文字の数字はすべて異なります。H は先頭ではないので、H = 0 でも問題ありません。

掛け算を2つに分けて検算します。3027 × 7 = 21189、3027 × 20 = 60540。この部分積を足すと 81729 となり、BASIC と一致します。

3027 × 27 = 21189 + 60540 = 81729

答えと検算

T

= 3

H

= 0

I

= 2

S

= 7

B

= 8

A

= 1

C

= 9

3027 × 27 = 81729

各文字の数字はすべて異なり、どの数も先頭は 0 ではなく、等式も成立します。

解き方のポイント

繰り返される文字が掛け算の各桁を結び、積の桁数が先頭の数字を制限します。繰り上がりと文字の値は分けて記録し、残った候補をすべて調べましょう。数字の重複と6桁になる場合を除くことで、解が1つに定まります。