THIS × IS = BASIC
단계별 풀이
THIS × IS = BASIC은 어떻게 풀까요? 정답은 3027 × 27 = 81729입니다. 반복되는 I와 S로 끝 두 자리의 후보를 좁히고, 곱이 다섯 자리라는 조건으로 나머지 경우를 모두 제외하는 과정을 살펴봅니다.
각 글자는 0부터 9까지의 숫자 하나를 나타냅니다. 같은 글자는 같은 숫자이고, 다른 글자는 서로 다른 숫자입니다. 맨 앞 글자인 T, I, B의 값은 0이 될 수 없습니다.
정답으로 이동1. 일의 자리 S × S부터 시작하기
곱의 일의 자리는 S × S에서 나옵니다. 끝자리는 C이고, 십의 자리로 올라가는 수를 c1이라고 합시다. 예를 들어 S = 7이면 7 × 7 = 49이므로 C = 9, c1 = 4입니다.
S는 0, 1, 5, 6일 수 없습니다. 각각 제곱해도 끝자리가 원래 숫자와 같아 C = S가 되기 때문입니다. 따라서 S의 후보는 2, 3, 4, 7, 8, 9뿐입니다. 아직 정답을 고른 것은 아닙니다.
S × S = C + 10c1
2. 반복되는 I로 십의 자리 좁히기
십의 자리에는 I × S와 S × I가 모두 더해집니다. 여기에 c1을 더한 값의 끝자리가 I여야 합니다. 즉, I × (2S − 1) + c1은 10의 배수여야 합니다.
각 S 후보에 대해 I를 1부터 9까지 대입하고 I, S, C가 서로 다른 경우만 남기면 아래 표가 됩니다. c2는 백의 자리로 올라가는 수입니다. 곱셈의 올림수는 9보다 클 수 있습니다. 올림수는 글자 값이 아니므로 서로 다른 숫자여야 한다는 규칙을 적용하지 않습니다.
| I | S | C | 올림수 c2 |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 9 | 1 |
| 2 | 7 | 9 | 3 |
| 4 | 3 | 9 | 2 |
| 6 | 3 | 9 | 3 |
| 6 | 9 | 1 | 11 |
| 7 | 4 | 6 | 5 |
| 8 | 3 | 9 | 4 |
2 × I × S + c1 = I + 10c2
3. H를 구하고 다섯 자리 조건 활용하기
백의 자리는 H × S + I × I + c2이며 끝자리가 S여야 합니다. 각 조합에서 H를 0부터 9까지 대입하되 I, S, C와 겹치지 않게 합니다. 남는 여덟 경우와 올림수 c3은 아래 표와 같습니다.
다음으로 T × S + H × I + c3이 A와 올림수 c4를 결정합니다. 맨 왼쪽 자리는 T × I + c4 = B입니다. BASIC은 정확히 다섯 자리이므로 B는 9 이하여야 합니다.
표의 마지막 열은 B의 하한입니다. 숫자 1이 이미 사용되었더라도 일단 T = 1로 계산합니다. T를 키워도 T × I나 c4는 작아지지 않습니다. 이 최솟값부터 9를 넘는 행은 불가능하므로 제외하면 네 행이 남습니다.
| I | S | H | c3 | B 최솟값 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 | 2 | 3 |
| 2 | 7 | 0 | 0 | 2 |
| 4 | 3 | 5 | 3 | 6 |
| 6 | 3 | 8 | 6 | 11 |
| 6 | 9 | 8 | 11 | 12 |
| 7 | 4 | 0 | 5 | 7 |
| 7 | 4 | 5 | 7 | 11 |
| 8 | 3 | 5 | 8 | 13 |
H × S + I × I + c2 = S + 10c3; T × S + H × I + c3 = A + 10c4; T × I + c4 = B
4. 남은 경우 중 세 행 제외하기
I = 2, S = 3, H = 6인 경우: T = 1이면 B = 3으로 S와 겹칩니다. 다음으로 쓸 수 있는 0이 아닌 T는 4인데, 이미 B = 10이 됩니다. 더 큰 T도 불가능합니다.
I = 4, S = 3, H = 5인 경우: T = 1이면 천의 자리 합이 26이므로 A = 6, c4 = 2입니다. 그런데 B = 4 + 2 = 6으로 A와 겹칩니다. T = 2부터 B = 10이므로 이 행도 불가능합니다.
I = 7, S = 4, H = 0인 경우: T = 1이면 B = 7로 I와 겹칩니다. T가 2 이상이면 T × I만으로도 14 이상이 되어 한 자리 B에 들어갈 수 없습니다.
I = 2; S = 7; H = 0; C = 9; c3 = 0
5. T, A, B 결정하기
남은 행에서 천의 자리 합은 7T입니다. T = 1이면 c4 = 0, B = 2로 I와 겹칩니다. T = 2는 I가 이미 사용합니다. T = 4이면 c4 = 2, B = 10이며 더 큰 T도 다섯 자리 제한을 넘습니다. 따라서 T = 3만 남습니다.
7 × 3 = 21이므로 A = 1, c4 = 2입니다. 맨 앞 숫자는 B = 3 × 2 + 2 = 8입니다. 일곱 글자의 숫자는 모두 다릅니다. H는 맨 앞 글자가 아니므로 H = 0도 허용됩니다.
곱셈을 두 부분으로 나누어 검산합니다. 3027 × 7 = 21189이고 3027 × 20 = 60540입니다. 두 부분곱을 더하면 81729로, BASIC과 정확히 일치합니다.
3027 × 27 = 21189 + 60540 = 81729
정답과 검산
- T
- = 3
- H
- = 0
- I
- = 2
- S
- = 7
- B
- = 8
- A
- = 1
- C
- = 9
3027 × 27 = 81729
모든 글자의 숫자가 서로 다르고, 맨 앞 숫자는 모두 0이 아니며, 등식도 성립합니다.
핵심 정리
반복되는 글자는 곱셈의 각 자리를 연결하고, 곱의 자릿수는 맨 앞 숫자를 제한합니다. 올림수와 글자 값은 따로 기록하고 남은 경우를 모두 확인하세요. 숫자가 겹치는 경우와 여섯 자리가 되는 경우를 제외하면 해는 하나만 남습니다.