THIS × IS = BASIC

逐步解析

THIS × IS = BASIC 怎么解？答案是 3027 × 27 = 81729。下面从重复出现的 I 和 S 入手，说明末两列如何缩小范围，以及五位数的结果为什么能排除其他赋值。

每个字母代表 0 到 9 中的一个数字。相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字。首位字母 T、I 和 B 不能为零。

1. 从个位的 S × S 入手

积的个位来自 S × S，其末位是 C，向十位的进位记为 c1。例如，若 S = 7，则 7 × 7 = 49，可得 C = 9、c1 = 4。

S 不可能是 0、1、5、6，因为这些数字的平方末位仍是自身，会导致 C = S。因此 S 只可能是 2、3、4、7、8、9。此时只是列出候选，还没有确定答案。

S × S = C + 10c1

十位同时包含 I × S 和 S × I，再加上 c1，总和的末位必须是 I。换句话说，I × (2S − 1) + c1 必须是 10 的倍数。

对每个候选 S，让 I 取 1 到 9，并保证 I、S、C 各不相同。下表列出全部符合条件的组合，c2 是向百位的进位。乘法进位可以超过 9：它不是字母的值，不受字母数字互异规则限制。

经过个位和十位筛选后的全部组合
I	S	C	进位 c2
2	3	9	1
2	7	9	3
4	3	9	2
6	3	9	3
6	9	1	11
7	4	6	5
8	3	9	4

2 × I × S + c1 = I + 10c2

百位为 H × S + I × I + c2，末位必须是 S。对上表每一组，让 H 取 0 到 9，且不能与 I、S、C 重复。下表列出剩下的八种情况及其进位 c3。

接着，T × S + H × I + c3 产生千位 A 和进位 c4。最左侧满足 T × I + c4 = B。BASIC 恰好是五位数，所以 B 不能超过 9。

表中最后一列给出 B 的下界：暂时取 T = 1，即使数字 1 已经被占用。增大 T 不会使 T × I 或 c4 变小。因此，只要这个最小值已超过 9，整行都可以排除。筛选后剩下四行。

百位候选及最左侧数值的下界
I	S	H	c3	B 的最小值
2	3	6	2	3
2	7	0	0	2
4	3	5	3	6
6	3	8	6	11
6	9	8	11	12
7	4	0	5	7
7	4	5	7	11
8	3	5	8	13

H × S + I × I + c2 = S + 10c3; T × S + H × I + c3 = A + 10c4; T × I + c4 = B

当 I = 2、S = 3、H = 6 时：T = 1 会得到 B = 3，与 S 重复。下一个未使用的非零数字是 T = 4，此时 B 已经等于 10，更大的 T 也不行。

当 I = 4、S = 3、H = 5 时：T = 1 使千位总和为 26，得到 A = 6、c4 = 2，但 B = 4 + 2 = 6，与 A 重复。T = 2 就会使 B = 10，因此这一行无解。

当 I = 7、S = 4、H = 0 时：T = 1 得到 B = 7，与 I 重复。若 T 至少为 2，仅 T × I 就至少是 14，无法成为一位数 B。

I = 2; S = 7; H = 0; C = 9; c3 = 0

剩下的一行中，千位总和为 7T。T = 1 时 c4 = 0、B = 2，与 I 重复；T = 2 已被 I 占用；T = 4 时 c4 = 2、B = 10，更大的 T 也超出五位数限制。因此只能取 T = 3。

由 7 × 3 = 21，得到 A = 1、c4 = 2。首位 B = 3 × 2 + 2 = 8。七个字母的数字互不相同，其中 H = 0 是允许的，因为 H 不是首位字母。

分两部分验算乘法：3027 × 7 = 21189，3027 × 20 = 60540。两项相加得到 81729，正好对应 BASIC。

3027 × 27 = 21189 + 60540 = 81729

3027 × 27 = 81729

各字母对应的数字互不相同，所有首位数字均不为零，等式成立。

重复字母把乘法的各列联系起来，积的位数则限制首位的大小。将进位与字母值分开记录，列全候选，再排除数字重复和多出第六位的情况。这些条件共同确定了唯一解。