THIS × IS = BASIC

1. Comece com S × S nas unidades

O algarismo das unidades do produto vem de S × S. Seu último algarismo é C; chamamos de c1 o valor transportado para as dezenas. Por exemplo, S = 7 daria C = 9 e c1 = 4, pois 7 × 7 = 49.

S não pode ser 0, 1, 5 ou 6: o quadrado de cada um termina no mesmo algarismo, o que faria C = S. Os únicos valores possíveis de S são 2, 3, 4, 7, 8 e 9. Por enquanto, são candidatos, não a resposta.

S × S = C + 10c1

2. Use o I repetido para restringir as dezenas

Nas dezenas, entram tanto I × S quanto S × I. Somando c1, o total precisa terminar em I. Ou seja, I × (2S − 1) + c1 deve ser múltiplo de 10.

Teste cada S possível com I de 1 a 9, mantendo I, S e C diferentes. A tabela contém todos os pares que satisfazem essas condições. c2 é o transporte para as centenas. Os transportes de uma multiplicação podem ultrapassar 9: não são valores de letras e não seguem a regra de algarismos diferentes.

2 × I × S + c1 = I + 10c2

3. Encontre H e use o limite de cinco algarismos

As centenas somam H × S, I × I e c2; o resultado deve terminar em S. Para cada par anterior, teste H de 0 a 9 sem repetir I, S ou C. A tabela mostra as oito possibilidades restantes e seu transporte c3.

Depois, T × S + H × I + c3 determina A e o transporte c4. A coluna mais à esquerda satisfaz T × I + c4 = B. Como BASIC tem exatamente cinco algarismos, B não pode ultrapassar 9.

A última coluna da tabela dá um limite inferior para B: usamos provisoriamente T = 1, mesmo que esse algarismo já esteja ocupado. Aumentar T não pode reduzir T × I nem c4. Portanto, uma linha cujo B mínimo ultrapassa 9 é impossível. Restam quatro linhas.

H × S + I × I + c2 = S + 10c3; T × S + H × I + c3 = A + 10c4; T × I + c4 = B

4. Elimine três das linhas restantes

Com I = 2, S = 3, H = 6: T = 1 dá B = 3, repetindo S. O próximo T não nulo disponível é 4, mas ele já dá B = 10. Valores maiores de T também não servem.

Com I = 4, S = 3, H = 5: T = 1 dá um total de 26 nos milhares, então A = 6 e c4 = 2. Porém, B = 4 + 2 = 6 também. T = 2 já dá B = 10, portanto essa linha não serve.

Com I = 7, S = 4, H = 0: T = 1 dá B = 7, repetindo I. Se T for pelo menos 2, somente T × I já será pelo menos 14, grande demais para B.

I = 2; S = 7; H = 0; C = 9; c3 = 0

5. Conclua com T, A e B

Na linha restante, o total dos milhares é 7T. T = 1 dá c4 = 0 e B = 2, repetindo I. T = 2 já está ocupado por I. T = 4 daria c4 = 2 e B = 10; qualquer T maior também ultrapassa o limite de cinco algarismos. Só resta T = 3.

Agora 7 × 3 = 21 dá A = 1 e c4 = 2. O primeiro algarismo é B = 3 × 2 + 2 = 8. As sete letras têm valores diferentes. H = 0 é permitido porque H não é uma letra inicial.

Verifique a multiplicação em duas partes: 3027 × 7 = 21189 e 3027 × 20 = 60540. A soma desses produtos parciais é 81729, exatamente BASIC.

3027 × 27 = 21189 + 60540 = 81729

Resposta e verificação

T

= 3

H

= 0

I

= 2

S

= 7

B

= 8

A

= 1

C

= 9

3027 × 27 = 81729

Todas as letras têm algarismos diferentes, nenhum algarismo inicial é zero e a igualdade está correta.

Ideia principal

Letras repetidas conectam as colunas da multiplicação, enquanto o tamanho do produto limita os primeiros algarismos. Registre os transportes separadamente dos valores das letras, liste os casos restantes e elimine tanto os algarismos repetidos quanto um sexto algarismo indevido. Essas verificações deixam uma única solução.